Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；

（2）令g（x）＝0，得到；設(shè)，通過討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的草圖求出函數(shù)的零點個數(shù)即可．

解：（1）當(dāng)m＝e時，，∴

當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；

∴當(dāng)x＝e時，f（x）取最小值．

（2）∵函數(shù)，

令g（x）＝0，得；

設(shè)，則′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）

當(dāng)x∈（0，1）時，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（1，+∞）時，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是減函數(shù)；

當(dāng)x＝1是（x）的極值點，且是唯一極大值點，∴x＝1是（x）的最大值點；

∴（x）的最大值為，又（0）＝0結(jié)合y＝（x）的圖象，

可知：①當(dāng)時，函數(shù)g（x）無零點；

②當(dāng)時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；

③當(dāng)時，函數(shù)g（x）有兩個零點；

④當(dāng)m≤0時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；

綜上：當(dāng)時，函數(shù)g（x）無零點；

當(dāng)或m≤0時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；

當(dāng)時，函數(shù)g（x）有且只有兩個零點；