Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，對(duì)任意的n∈N^*都有a_n+1=a₁+a_n+n，則$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=$\frac{4032}{2017}$．

Answer 1

分析 由a_n+1-a_n=a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，采用累加法求得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n∈N*），則$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用裂項(xiàng)法即可求得$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$的值．

解答 解：a_n+1-a_n=a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，…，a_n-a_n-1=n（n≥2），
上述n-1個(gè)式子相加得a_n-a₁=2+3+…+n，
∴a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1滿足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n∈N*），
因此$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{{{a_{2016}}}}$=
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）
=2（1-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{4032}{2017}$
故答案為：$\frac{4032}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查“累加法”及“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．