Question

20．記max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3，$\sqrt{10}$}=$\sqrt{10}$．已知函數(shù)f（x）=max{x²-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax²+x}．
（1）求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域；
（2）試探討是否存在實數(shù)a，使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設F（x）=x²-1-2lnx，對其求導，及最小值，從而得到f（x）的解析式，進一步求值域即可．
（2）分別對a≤0和a＞0兩種情況進行討論，得到g（x）的解析式，進一步構造h（x），通過求導得到最值，得到滿足條件的a的范圍．

解答 解：（1）由題意設F（x）=x²-1-2lnx，則F'（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
所以x＞1時，F(xiàn)（x）遞增，0＜x＜1時F（x）遞減，
所以F（x）_min=F（1）=0，所以F（x）≥0即x²-1＞2lnx，
所以f（x）=x²-1，其在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為x=2時函數(shù)值3，x=$\frac{1}{2}$取最小值為$-\frac{3}{4}$，
所以函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域[-$\frac{3}{4}$，3]；
（2）①當a≤0時，因為x∈（1，+∞），所以x+lnx-（ax²+x）=lnx-ax²＞0，
所以x+lnx＞ax²+x，所以g（x）=x+lnx，當g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立，
則lnx-$\frac{1}{2}$x＜4a對x∈（1，+∞）恒成立，設h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x，則h'（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，
令h'（x）＞0得1＜x＜2，h（x）遞增，令h'（x）＜0得x＞2，h（x）遞減，
所以h（x）_max=h（2）=ln2-1，所以a＞$\frac{ln2-1}{4}$，又a≤0，所以a∈（$\frac{ln2-1}{4}$，0]．
②當a＞0時，由①知x+lnx＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立，
若g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立，則ax²+x＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立，
即2ax²-x-8a＜0對x∈（1，+∞）恒成立，顯然不成立，
即a＞0時，不滿足g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對x∈（1，+∞）恒成立；
綜上，存在實數(shù)a使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a，
對x∈（1，+∞）恒成立，a的取值范圍是（$\frac{ln2-1}{4}$，0]．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性，進一步求最值；屬于難題．