Question

如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e＝.過(guò)F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8.

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1) 因?yàn)锳B＋AF₂＋BF₂＝8，

即AF₁＋F₁B＋AF₂＋BF₂＝8，(1分)

又AF₁＋AF₂＝BF₁＋BF₂＝2a，(2分)

所以4a＝8，a＝2.

又因?yàn)閑＝，即＝，所以c＝1，(3分)

所以b＝＝.

故橢圓E的方程是＝1.(4分)

(2) 由

消去y得(4k²＋3)x²＋8kmx＋4m²－12＝0.(5分)

因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x₀，y₀)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)

即64k²m²－4(4k²＋3)(4m²－12)＝0，

化簡(jiǎn)得4k²－m²＋3＝0.(*)(7分)

此時(shí)x₀＝－，y₀＝kx₀＋m＝，

所以P

由得Q(4，4k＋m)．(9分)

假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上．(10分)

設(shè)M(x_1，0)，則·＝0對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立．

得＋3＝0，

整理，得(4x₁－4)＋x－4x₁＋3＝0.(**)(12分)

由于(**)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，

所以解得x₁＝1.(13分)

故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.(14分)