Question

 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且＝0.

(1) 求橢圓E的離心率；

(2) 已知點D(1，0)為線段OF₂的中點，M為橢圓E上的動點(異于點A、B)，連結(jié)MF₁并延長交橢圓E于點N，連結(jié)MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結(jié)PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁、k₂，試問是否存在常數(shù)λ，使得k₁＋λk₂＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1) ∵∴  a＋c＝5(a－c)，化簡得2a＝3c，故橢圓E的離心率為.

(2) 存在滿足條件的常數(shù)λ，λ＝－.點D(1，0)為線段OF₂的中點，∴  c＝2，從而a＝3，b＝，左焦點F₁(－2，0)，橢圓E的方程為＝1，設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，P(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，則直線MD的方程為x＝y＋1，代入橢圓方程＝1，整理得，y²＋y－4＝0.∵  y₁＋y₃＝，∴  y₃＝.從而x₃＝，故點P.同理，點Q.∵  三點M、F₁、N共線，∴  ，從而x₁y₂－x₂y₁＝2(y₁－y₂)．從而k₂＝＝，故k₁－＝0，從而存在滿足條件的常數(shù)λ＝－.