Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{a}=\frac{cosB}{cosA}$，a=4，c=5．
（1）求邊b的長；
（2）若$\frac{a}＞1$，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$時，求△AEF周長l的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由正弦定理以及二倍角公式可得sin2A=sin2B，分析可得A=B或$A+B=\frac{π}{2}$，分2種情況討論可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得AE•AF=$\frac{1}{2}bc=\frac{15}{2}$，結(jié)合余弦定理可得EF=$\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$，進而可得周長l=（AE+AF）$+\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意$\frac{a}=\frac{cosB}{cosA}$，則有acosA=bcosB，
由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，∴A=B或$A+B=\frac{π}{2}$
當$A+B=\frac{π}{2}$時，△ACB為直角三角形，且C=$\frac{π}{2}$，易知b=3．
當A=B時，△ABC為等腰三角形且a=b，b=4．
（2）依題可知：a＞b，∴$∠C=\frac{π}{2}$，b=3，$cosA=\frac{3}{5}$．
依題：$\frac{1}{2}AE•AF•sinA$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}bc•sinA$⇒AE•AF=$\frac{1}{2}bc=\frac{15}{2}$．
由余弦定理$EF=\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-2AE•AFcosA}$=$\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$，
周長l=（AE+AF）$+\sqrt{A{E^2}+A{F^2}-9}$$≥2\sqrt{AE•AF}$$+\sqrt{2AE•AF-9}$=$\sqrt{30}+\sqrt{6}$．
當$AE=AF=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$時，等號成立．

點評 本題考查三角形的幾何計算，涉及三角函數(shù)的恒等變形，關(guān)鍵是熟悉三角函數(shù)的恒等變形公式．