Question

6．已知三棱錐S-ABC的三條側棱相等，體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，則三棱錐S-ABC外接球的體積為$\frac{32}{3}$π．

Answer 1

分析 設定點S在底面的投影為G，因為三棱錐S-ABC的三條側棱相等，所以GA=GB=GC=r．三棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{s}_{△ABC}×SO=\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得SO=1，三棱錐S-ABC外接球球心O在SO上．

解答 解：如圖設定點S在底面的投影為G，因為三棱錐S-ABC的三條側棱相等，所以GA=GB=GC=r．
因為AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，則△ABC的外接圓半徑r，2r=$\frac{AB}{sin3{0}^{0}}=2\sqrt{3}$，
三棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{s}_{△ABC}×SG=\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得SG=1
三棱錐S-ABC外接球球心為O．三棱錐S-ABC外接球半徑R，則R²=（SG-R）²+（$\sqrt{3}$）²，
解得R=2
棱錐S-ABC外接球的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{32}{3}π$．
故答案為：$\frac{32π}{3}$

點評 本題考查了幾何體的外接球，轉化思想是解題關鍵，屬于中檔題．