Question

2．已知函數(shù)f（x）=1+2sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）遞增區(qū)間；      
（2）求f（x）的對(duì)稱軸方程；
（3）求f（x）的最大值并寫出取最大值時(shí)自變量x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2．令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解出即可得出f（x）遞增區(qū)間．
（2）由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解出x即可得出．
（3）當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z），可得f（x）_max=$\sqrt{2}$+2．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=1+2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ（k∈Z），
∴f（x）遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$+kπ]（k∈Z）．
（2）由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$（k∈Z），
∴f（x）的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$（k∈Z）．
（3）當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z），f（x）_max=$\sqrt{2}$+2．
∴f（x）取最大值時(shí)自變量x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z）}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．