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 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點A、B.

(1) 若AB＝，求k的值；

(2) 求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.


 (1) 解：由題意知＝，b＝1.

由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，

∴ 橢圓的方程為＋y2＝1.

由得(2k2＋1)x2－kx－＝0.

Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋＞0恒成立，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

＝，化簡得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.

(2) 證明：∵＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

∴·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝(1＋k2)x1x2－·k(x1＋x2)＋

＝－＋＝0.

∴ 不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.


練習冊系列答案
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為了得到函數y＝2sin (x∈R)的圖象，只需把函數y＝2sinx(x∈R)的圖象上所有的點經過怎樣的變換得到？

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(1) 若直線PA平分線段MN，求k的值；

(2) 當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；

(3) 對任意k>0，求證：PA⊥PB.

 

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已知橢圓＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點．

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拋物線y2＝4x上一點M到焦點的距離為3，則點M的橫坐標x＝________．

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(1) 若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；

(2) 若，求橢圓的方程．

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