Question

設(shè)x+y+z=0，求證：6（x³+y³+z³）²≤（x²+y²+z²）³．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,綜合法

分析：根據(jù)x+y+z=0，可得z=-（x+y），分別代入化簡，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：∵x+y+z=0，∴z=-（x+y），
∴左式=6[x³+y³-（x+y）³]²=6（3x²y+3xy²）²=54x²y²（x+y）²=27（2x²）（xy+y²）（xy+y²）
右式=[x²+y²+（x+y）²]³=（2x²+xy+y²+xy+y²）³，
∴利用基本不等式，可得（2x²+xy+y²+xy+y²）³=[（2x²）+（xy+y²）+（xy+y²）]³≥27（2x²）（xy+y²）（xy+y²），
∴右式≥左式，
∴6（x³+y³+z³）²≤（x²+y²+z²）³．

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．