Question

15．已知過(guò)定點(diǎn)P（-4，0）的直線l與曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，直線l的斜率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Answer 1

分析 由曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$表示在x軸上方以及含與x軸的交點(diǎn)半圓，設(shè)出直線l的方程，利用△AOB的面積取最大值時(shí)，OA⊥OB，求出圓心O到直線l的距離d=$\sqrt{2}$，從而求出直線的斜率k．

解答 解：由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$得x²+y²=4（y≥0），
∴曲線y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$表示圓x²+y²=4在x軸上方的部分（含與x軸的交點(diǎn)）；
由題知，直線的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k（k＞0），
則直線方程為y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，OA⊥OB，
此時(shí)圓心O到直線l的距離d=$\sqrt{2}$，如圖所示；

∴d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)△AOB的面積取到最大值時(shí)OA⊥OB，是中檔題．