Question

6．已知拋物線x²=2y，過動點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，且k_PAk_PB=-2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）試問直線AB是否恒過定點？若恒過定點，請求出定點坐標；若不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線PA：y-y₀=k_PA（x-x₀），代入拋物線方程，得出$△=0⇒k_{PA}^2-2{x_0}{k_{PA}}+2{y_0}=0$，同理，有$k_{PB}^2-2{x_0}{k_{PB}}+2{y_0}=0$，k_PA，k_PB分別為方程：k²-2x₀k+2y₀=0的兩個不同的實數(shù)根，利用韋達定理求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）求出直線AB的方程，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）設P（x₀，y₀），則直線PA：y-y₀=k_PA（x-x₀），代入拋物線方程：x²-2k_PAx-2y₀+2k_PAx₀=0，
因為直線與拋物線相切，所以$△=0⇒k_{PA}^2-2{x_0}{k_{PA}}+2{y_0}=0$，…（2分）
同理，有$k_{PB}^2-2{x_0}{k_{PB}}+2{y_0}=0$，…（3分）
所以k_PA，k_PB分別為方程：k²-2x₀k+2y₀=0的兩個不同的實數(shù)根，…（5分）
k_PAk_PB=-2=2y₀，所以y₀=-1，所以點P的軌跡方程為y=-1．…（6分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$y=\frac{1}{2}{x^2}$，y'=x，所以拋物線在A，B點的切線方程分別為x₁x-y-y₁=0，x₂x-y-y₂=0，…（8分）
又都過點P（x₀，-1），所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}{x_0}-{y_1}+1=0\\{x_2}{x_0}-{y_2}+1=0\end{array}\right.$…（9分）
所以直線AB的方程為xx₀-y+1=0，…（11分）
所以直線AB恒過定點（0，1）．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，圓錐曲線方程的綜合應用，函數(shù)的導數(shù)以及切線方程的應用，難度比較大的壓軸題目．