19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosa\\ y=sina\end{array}\right.(a$為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{4}{sinθ+cosθ}$.
(1)求曲線C1,C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)P,Q分別是線C1,C2的動(dòng)點(diǎn),求|PQ|的最小值.

分析 (1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,消去參數(shù),可得C1直角坐標(biāo)方程.利用ρsinθ=y,ρcosθ=x化簡可得C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)P的坐標(biāo)($\sqrt{3}cosα$,sinα),利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界限,求解|PQ|的最小值.

解答 解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosa\\ y=sina\end{array}\right.(a$為參數(shù)),
可得:$\frac{x}{\sqrt{3}}=cosα$,sinα=y,
則$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$,
故得C1直角坐標(biāo)方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$,
曲線C2的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{4}{sinθ+cosθ}$.
則ρsinθ+ρcosθ=4
∵ρsinθ=y,ρcosθ=x,
∴x+y=4.
故得C2的直角坐標(biāo)方程為:x+y-4=0.
(2)設(shè)$P({\sqrt{3}cosa,sina}),d=\frac{{|{\sqrt{3}cosa+sina-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin({a+\frac{π}{3}})-4}|}}{{\sqrt{2}}},{d_{min}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$.
即|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考察了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換.利用參數(shù)設(shè)坐標(biāo),求解點(diǎn)到直線的距離的問題.

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9.某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份2007200820092010201120122013
年份代號(hào)t1234567
人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9
若y關(guān)于t的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+a,則據(jù)此該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入約為( 。
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