Question

18．正三棱柱體積為16，當(dāng)其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)a=4．

Answer 1

分析 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，根據(jù)體積公式用a表示出高h(yuǎn)，得出表面積S關(guān)于a的函數(shù)，利用基本不等式得出答案．

解答 解：設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h$=16，
∴h=$\frac{64\sqrt{3}}{3{a}^{2}}$．
∴三棱柱的表面積S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{64\sqrt{3}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{32\sqrt{3}}{a}$+$\frac{32\sqrt{3}}{a}$≥3$\root{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}•\frac{32\sqrt{3}}{a}•\frac{32\sqrt{3}}{a}}$=24$\sqrt{3}$（a＞0）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=$\frac{32\sqrt{3}}{a}$即a=4時(shí)，取等號(hào)．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征和體積計(jì)算，不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．