分析:構造函數f(x)=sinx+cosx-1-x+x2然后證明f′(x)>0.引進g(x)=f′(x),通過判斷g(x)的符號,可順利解決問題.
證明:設f(x)=sinx+cosx-1-x+x2,
則f′(x)=cosx-sinx-1+2x.
只要證f′(x)>0,
設g(x)=cosx-sinx-1+2x.
g′(x)=-sinx-cosx+2
=(1-sinx)+(1-cosx).
∵sinx=1時cosx=0;cosx=1時sinx=0,
∴1-sinx與1-cosx不能同時為0.
∴g′(x)>0.
∴g(x)當x>0時是增函數.
又g(x)在R上是連續(xù)函數且g(0)=0.
∴g(x)>g(0)=0即f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數.
且f(0)=0,
∴x>0時sinx+cosx>1+x-x2.
科目:高中數學 來源: 題型:
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科目:高中數學 來源: 題型:
(1)設x,y∈(0,+∞),求證:f()=f(y)-f(x);
(2)設x1,x2∈(0,+∞),f(x1)>f(x2),試比較x1,x2的大;
(3)解不等式f()>f(ax-3)(0<a<1).
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