設(shè)x＞0,求證:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

證明：(1)x≥1時,1≤x≤x2≤…≤xn,

∴|x|+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

即1+x2+x4+…+x2n＞(n+1)·xn,

1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.

兩式相加,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

(2)當(dāng)0＜x＜1時,有xn≤xn-1≤…≤x2≤x＜1,

此時上面證明仍然成立.

綜合(1)(2),知1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象切x軸于點（2，0），求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈（0，1））的圖象上任意一點的切線斜率為k，試求|k|≤1的充要條件；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證|a|＜
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0，求證：
2x+1
3x+1
＜
2(x+1)
3x+4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在(0，+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x),對任意的x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時f(x)＞0成立.

(1)設(shè)x,y∈(0,+∞),求證：f()=f(y)-f(x);

(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),f(x1)＞f(x2),試比較x1,x2的大�。�

(3)解不等式f()＞f(ax-3)(0＜a＜1).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0,求證：sinx+cosx＞1+x-x2.

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