Question

20．設(shè)A，B，C，D，是平面直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，則稱C，D是關(guān)于A，B的“好點(diǎn)對(duì)”．已知M，N是關(guān)于A，B的“好點(diǎn)對(duì)”，則下面說法正確的是（　�。�

• A． M可能是線段AB的中點(diǎn)
• B． M，N 可能同時(shí)在線段BA延長(zhǎng)線上
• C． M，N 可能同時(shí)在線段AB上
• D． M，N不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$中，點(diǎn)C的相對(duì)位置與λ的取值范圍去求解，點(diǎn)C在線段AB上（不含端點(diǎn)），λ∈（0，1），點(diǎn)C在線段AB延長(zhǎng)線上（不含端點(diǎn)），λ＞1．

解答 解：設(shè)A，B，C，D，是平面直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，對(duì)于選項(xiàng)A，M是線段AB的中點(diǎn)，
則λ=2，$\frac{1}{λ}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{μ}$=，0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B和D，若M，N同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，則λ＞1，μ＞1⇒$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＜2，
故M，N不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，故D選項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)C，若M，N同時(shí)在線段AB上，則0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＞2，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何含義，屬于難題．