Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，-n），$\overrightarrow$=（S_n，n+1），n∈N^*，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n+4}}$}的最大項(xiàng)的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{1}{9}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2S_n-n（n+1）=0，可得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．利用遞推關(guān)系可得a_n=n．代入$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n+4}}$=$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2S_n-n（n+1）=0，可得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴a₁=S₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=n．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n+4}}$=$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{2×2+5}$=$\frac{1}{9}$．當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)．
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}{a}_{n+4}}$}的最大項(xiàng)的值為$\frac{1}{9}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．