Question

17．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），其中0≤α＜π．在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₁：ρ=4cosθ．直線l與曲線C₁相切．
（1）將曲線C₁的極坐標方程化為直角坐標方程，并求α的值．
（2）已知點Q（2，0），直線l與曲線C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A，B兩點，求△ABQ的面積．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐標方程，利用直線l與曲線C₁相切求α的值．
（2）直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入曲線C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得10x²+4x-5=0，求出|AB|，Q到直線的距離，即可求△ABQ的面積．

解答 解：（1）曲線C₁：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標方程：x²+y²=4x，配方為C₁：（x-2）²+y²=4，可得圓心（2，0），半徑r=2
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），其中0≤α＜π，普通方程為y-$\sqrt{3}$=k（x-1），k=tanα，0≤α＜π，
∵直線l與曲線C₁相切，∴$\frac{|k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴α=$\frac{π}{6}$；
（2）直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入曲線C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得10x²+4x-5=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（-\frac{2}{5}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
Q到直線的距離d=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=2，
∴△ABQ的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{2}}{5}×2$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與橢圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．