Question

【題目】已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交所得弦長為，求直線的斜率；

（3）過點的任意直線與橢圓交于、兩點，設(shè)點、到直線：的距離分別為.若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用長軸長是短軸長的倍，點在橢圓上，建立方程組求解；

（2）聯(lián)立方程，結(jié)合弦長可求直線的斜率；

（3）把轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可求.

（1）由題意，則方程化為，

因為點在橢圓上，所以，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得，

設(shè)直線與橢圓相交于，

則，，

，

解得，故直線的斜率為.

（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，恒成立；

當(dāng)直線的斜率為0時，由得，即；

當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)，.

聯(lián)立得，

設(shè)，不妨設(shè)，

則，，

因為，所以，即，

整理可得，

解得.

綜上可得.