Question

已知方程在x∈[0，nπ），（n∈N^*）內(nèi)所有根的和記為a_n
（1）寫出a_n的表達(dá)式：（不要求嚴(yán)格的證明）  
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）設(shè)b_n=（kn-5）π，若對任何n∈N^*都有a_n≥b_n，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）解方程得或（1分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，或，此時(shí)（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，，
∴（3分）
依此類推：
∴（5分）
（2）
==
（9分）
（3）由a_n≥b_n得
∴
∵n∈N^*∴（11分）
設(shè)
易證f（n）在上單調(diào)遞減，在（）上單調(diào)遞增．    （13分）
∵n∈N^*
∴n=2，f（n）_min=4
∴k≤4（15分）
分析：（1）通過方程的解，利用n=1，2，求出a₁，a₂，類比寫出a_n的表達(dá)式．（不要求嚴(yán)格的證明）  
（2）利用拆項(xiàng)法直接通過公式法與等差數(shù)列求和，求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）設(shè)b_n=（kn-5）π，推出a_n≥b_n的表達(dá)式，利用分離變量，通過基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，數(shù)列求和的基本方法，恒成立問題的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分析問題解決問題的能力．