Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知acosB=bcosA，邊BC上的中線長為4，則△ABC面積的最大值是（　�。�

• A． 9
• B． $\frac{28}{3}$
• C． $\frac{32}{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 根據(jù)acosB=bcosA得出A=B，再根據(jù)余弦定理和中線長求出a²的值，寫出△ABC的面積，計(jì)算它的最大值即可．

解答 解：△ABC中，acosB=bcosA，
 由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，
∴sin（A-B）=0，
故A=B；
 由A=B知a=b，
又a²=b²+c²-2bccosA，
∴c=2acosA；
△ABD中，

由余弦定理得4²=c²+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2c•$\frac{a}{2}$cosB，
∴a²=$\frac{64}{1+{8cos}^{2}A}$；
∴△ABC的面積為
S=$\frac{1}{2}$acsinA
=$\frac{64sinAcosA}{{sinA}^{2}+{9cos}^{2}A}$
=$\frac{64tanA}{{tan}^{2}A+9}$
=$\frac{64}{tanA+\frac{9}{tanA}}$，
由基本不等式得
S≤$\frac{64}{2×\sqrt{tanA•\frac{9}{tanA}}}$=$\frac{32}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=3時(shí)，等號成立．
∴△ABC面積的最大值為$\frac{32}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于綜合性題目．