Question

11．在平面直角坐標系中，已知△PAB的周長為8，且點A，B的坐標分別為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）試求頂點P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）若動點P₁（x₁，y₁）在曲線C₁上，試求動點$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）過點C（3，0）作直線l與曲線C₂相交于M，N兩點，試探究是否存在直線l，使得點N恰好是線段CM的中點．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定頂點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，但要除去橢圓的左右兩個頂點，即可求頂點P的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）若動點P₁（x₁，y₁）在曲線C₁上，利用代入法求動點$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）假設存在直線l，使得點N恰好是線段CM的中點．設M（x₂，y₂），x₂≠±1，則x₂²+y₂²=1，點N在曲線C₂上，所以（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$）²+（$\frac{{y}_{2}}{2}$）²=1，③．聯(lián)立②③，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得頂點P滿足|PA|+|PB|=6，故頂點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，但要除去橢圓的左右兩個頂點．橢圓的半焦距c=1，長半軸長a=3，所以b=2$\sqrt{2}$，
故軌跡的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠±3）．----------------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）由題意，動點P₁（x₁，y₁）在曲線C₁上，故$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1（x₁≠±3）．--------①．
設Q（x，y），則∵$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$，代入①得x²+y²=1（x≠±1）．
故動點$Q（\frac{x_1}{3}，\frac{y_1}{{2\sqrt{2}}}）$的軌跡C₂的方程為x²+y²=1（x≠±1）．-----------（8分）
（Ⅲ）假設存在直線l，使得點N恰好是線段CM的中點．設M（x₂，y₂），x₂≠±1，則x₂²+y₂²=1 ②．
∵點N恰好是線段CM的中點，∴N（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$，$\frac{{y}_{2}}{2}$），
又點N在曲線C₂上，所以（$\frac{{x}_{2}+3}{2}$）²+（$\frac{{y}_{2}}{2}$）²=1，③．
聯(lián)立②③，解得x₂=-1，y₂=0，與x₂≠±1矛盾．
故不存在滿足題意的直線l．---------------（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．