Question

【題目】如圖所示的矩形ABCD中，AB=AD=2，點(diǎn)E為AD邊上異于A，D兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且EF//AB，G為線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，現(xiàn)沿EF將四邊形CDEF折起，使得AE與CF的夾角為60°，連接BD，F(xiàn)D．

(1)探究：在線(xiàn)段EF上是否存在一點(diǎn)M，使得GM//平面BDF，若存在，說(shuō)明點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求三棱錐G—BDF的體積的最大值，并計(jì)算此時(shí)DE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）,2

【解析】

（1）取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)M，得GM∥DF，由線(xiàn)面平行的判定定理可得GM∥平面BDF；（2）由題意可得AE與DE的夾角為60°，過(guò)D作DP垂直于AE交AE于P，可得DP為點(diǎn)D到平面ABFE的距離，設(shè)DE＝x，則AE＝BF＝4﹣x，利用等積法寫(xiě)出三棱錐G﹣BDF的體積，再由基本不等式求最值，并求出DE的長(zhǎng)度

（1）取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)M，有GM∥平面BDF．

證明如下：如圖所示，取線(xiàn)段EF的中點(diǎn)M，

∵G為線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，M為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，

∴GM為△EDF的中位線(xiàn)，故GM∥DF，

又GM平面BDF，DF平面BDF，故GM∥平面BDF；

（2）∵CF∥DE，且AE與CF的夾角為60°，故AE與DE的夾角為60°，即，

過(guò)D作DP⊥AE交AE于P，

由已知得DE⊥EF，AE⊥EF，∴EF⊥平面AED，

EF⊥DP,又AEEF=E,∴DP⊥平面AEFB，

即DP為點(diǎn)D到平面ABFE的距離，且，

設(shè)DE＝x，則AE＝BF＝4﹣x，

由（1）知GM∥DF，

，

當(dāng)且僅當(dāng)4﹣x＝x時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x＝DE＝2．

故三棱錐G﹣BDF的體積的最大值為，此時(shí)DE的長(zhǎng)度為2．