Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ（a＞0），且曲線C與直線l有且僅有一個公共點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）設(shè)A、B為曲線C上的兩點，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出直線l的普通方程；由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，依題意直線l與圓相切，由此能求出a的值．
（Ⅱ）設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{3}$），則|OA|+|OB|=ρ₁+ρ₂=2cosθ+2cos（$θ+\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\sqrt{3}sinθ$=2$\sqrt{3}$cos（$θ+\frac{π}{6}$），由此能求出|OA|+|OB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程是x+$\sqrt{3}y$-3=0，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ（a＞0），
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是（x-a）²+y²=a²，
依題意直線l與圓相切，則d=$\frac{|a-3|}{2}$=a，
解得a=-3，或a=1，
∵a＞0，∴a=1．
（Ⅱ）如圖，不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{3}$），
則ρ₁=2cosθ，${ρ}_{2}=2cos（θ+\frac{π}{3}）$，
|OA|+|OB|=ρ₁+ρ₂=2cosθ+2cos（$θ+\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\sqrt{3}sinθ$=2$\sqrt{3}$cos（$θ+\frac{π}{6}$），
∴θ+$\frac{π}{6}$=2kπ，即$θ=2kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z時，|OA|+|OB|最大值是2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查兩線段和的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．