Question

3．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)向圓x²+y²=a²作一條切線，若該切線與雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為$\sqrt{3}a$，則該雙曲線的離心率為2或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 求出切線方程，與漸近線方程聯(lián)立，利用該切線與雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為$\sqrt{3}a$，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，切線方程為y=$\frac{a}$（x+c），
與y=$\frac{a}$x聯(lián)立，可得（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{bc}{^{2}-{a}^{2}}$），
與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，可得（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵該切線與雙曲線的兩條漸近線截得的線段長為$\sqrt{3}a$，
∴（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）²+（$\frac{bc}{^{2}-{a}^{2}}$-$\frac{ab}{c}$）²=3a²，
化簡求得e=2或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為2或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓位置關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．