Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-ax（a為常數(shù)）有兩個極值點．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設f（x）的兩個極值點分別為x₁，x₂，若不等式$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜Ψ恒成立，求Ψ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x²-ax+a=0兩個不同的正根，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）利用韋達定理，可得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=lna-$\frac{1}{2}$a-1，構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求Ψ的最小值．

解答 解：（1）由題設知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$且f′（x）=0有兩個不同的正根，
即x²-ax+a=0兩個不同的正根x₁，x₂，（x₁＜x₂）
則 $\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，∴a＞4，
（0，x₁），f′（x）＞0，（x₁，x₂），f′（x）＜0，（x₂，+∞），f′（x）＞0，
∴x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，符合題意，
∴a＞4；
（2）f（x₁）+f（x₂）=alnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-ax₁+alnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-ax₂=a（lna-$\frac{1}{2}$a-1），
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=lna-$\frac{1}{2}$a-1，
令y=lna-$\frac{1}{2}$a-1，則y′=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$，
∵a＞4，
∴y′＜0，
∴y=lna-$\frac{1}{2}$a-1在（4，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y＜ln4-3，
∴Ψ的取值范圍是[ln4-3，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的極值，考查不等式恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．