Question

9．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點M在線段EF上，且MF=2EM．
（1）求證：AM∥平面BDF；
（2）求直線AM與平面BEF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設AC∩BD=N，連接FN，證明：四邊形AMFN是平行四邊形，AM∥FN，即可證明AM∥平面BDF；
（2）過點C作BF的垂線交BF于點H，求出CH，即可求直線AM與平面BEF所成角的余弦值．

解答 （1）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=CD=CB=a，∠ABC=60°，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵AC=BD=$\sqrt{3}a$，∴AB=2a．
設AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2，
則AN∥MF且AN=MF，
∴四邊形AMFN是平行四邊形，∴AM∥FN，
又NF?平面BDF，∴AM∥平面BDF．
（2）解：由題知：AC∥EF，∴點A到平面BEF的距離等于點C到平面BEF的距離，
過點C作BF的垂線交BF于點H，
∵AC⊥CF，AC⊥BC，BC∩CF=C，
∴AC⊥平面BCF，即EF⊥平面BCF，∴CH⊥EF，
又∵CH⊥BF，EF∩BF=F，∴CH⊥平面BEF．
在Rt△BCF中，CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在△AEM中，AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴直線AM與平面BEF所成角的正弦值為$\frac{CH}{AM}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即直線AM與平面BEF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查線面位置關系及判定，考查線面角，考查空間想象能力，計算能力，轉化能力．