Question

3．對函數(shù)$f（x）=x+\sqrt{1-{x^2}}$作x=h（t）的代換，則不改變函數(shù)f（x）值域的代換是（　�。�

• A． h（t）=$sint，t∈[{0，\frac{π}{2}}]$
• B． h（t）=sint，t∈[0，π]
• C． h（t）=sint，t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
• D． h（t）=$\frac{1}{2}$sint，t∈[0，2π]

Answer 1

分析 采用換元法，函數(shù)用x=h（t）代換，首先求出x的定義域，將原函數(shù)的值域轉化為三角函數(shù)的值域問題，對三角函數(shù)式進行變形化簡后，求出三角函數(shù)的定義域，得到本題結論．

解答 解：函數(shù)$f（x）=x+\sqrt{1-{x^2}}$的定義域為{x|-1≤x≤1}．
當x=h（t）時，其：-1≤h（t）≤1，
則有：h（t）=sint：
可得：-1≤sint≤1，
∴t∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．