Question

14．已知${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．則展開式常數(shù)項為0．

Answer 1

分析 首先求出前三項的系數(shù)，利用前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．得到關(guān)于n 的方程求出n，然后求常數(shù)項．

解答 解：因為前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．
又前三項系數(shù)絕對值分別為：1，$\frac{1}{{2}^{\;}}{C}_{n}^{1}$，$\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$，
所以2×$\frac{1}{2}{C}_{n}^{1}$=1+$\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$，整理得n²-9n+8=0，解得n=8，（n=1舍去），
所以展開式的通項為$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{4-\frac{3}{4}r}$，所以r=$\frac{16}{3}$時，為常數(shù)項，
但是r∉Z，所以展開式?jīng)]有常數(shù)項；故常數(shù)項為0；
故答案為：0．

點評 本題考查了二項式定理的運用；關(guān)鍵是正確求出指數(shù)，利用展開式的通項求特征項．