Question

18．已知函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，當函數(shù)y=f（x）和y=F（x）在區(qū)間[a，b]同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間[a，b]叫做函數(shù)y=f（x）的“不動區(qū)間”．若區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2^x-t|的“不動區(qū)間”，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2]
• B． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 若區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2^x-t|的“不動區(qū)間”，則函數(shù)f（x）=|2^x-t|和函數(shù)F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上單調(diào)性相同，則（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，進而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴F（x）=f（-x）=|2^-x-t|，
∵區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2^x-t|的“不動區(qū)間”，
∴函數(shù)f（x）=|2^x-t|和函數(shù)F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上單調(diào)性相同，
∵y=2^x-t和函數(shù)y=2^-x-t的單調(diào)性相反，
∴（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1-t（2^x+2^-x）+t²≤0在[1，2]上恒成立，
即2^-x≤t≤2^x在[1，2]上恒成立，
即$\frac{1}{2}$≤t≤2，
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解不動區(qū)間的定義，是解答的關(guān)鍵．