Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調遞增區(qū)間及極值．
（3）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+bx﹣3，

∴f′（x）=2ax+b．

∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點處的切線與直線2x+y=0平行，

∴ ，

解得a=1，b=﹣2．所以f（x）=x2﹣2x﹣3

（2）解：∵f（x）=x2﹣2x﹣3，

∴g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，

所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．

令g′（x）=0，得 ，x2=1．

x	（﹣∞， ）		（ ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值0	↑

所以函數(shù)g（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞， ），（1，+∞）．在x2=1有極小值為0．

在 有極大值

（3）解：∵g（0）=0，g（2）=2，

∴由（2）知：函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0

【解析】（1）由f（x）=ax2+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點處的切線與直線2x+y=0平行，知 ，由此能求出f（x）．（2）由f（x）=x2﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得 ，x2=1．列表討論能求出函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調遞增區(qū)間及極值．（3）由g（0）=0，g（2）=2，結合（2）的結論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．