Question

14．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=1，沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為4π．

Answer 1

分析 設(shè)H為梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，O為BC中點(diǎn)，依題意有AH=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，四面體A′-BCD中，由平面A′BD⊥平面BCD，A′O=$\sqrt{{A}^{′}{H}^{2}+H{O}^{2}}=1$，又因?yàn)镺D=OC=OB=1，即O為四面體A′-BCD外接球的球心

解答 解：設(shè)H為梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，O為BC中點(diǎn)，依題意有AH=OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
四面體A′-BCD中，平面A′BD⊥平面BCD，∴平面A′H⊥平面BCD，∴A′O=$\sqrt{{A}^{′}{H}^{2}+H{O}^{2}}=1$，
又因?yàn)镺D=OC=OB=1，∴O為四面體A′-BCD外接球的球心，故半徑R=1．
則該球的表面積為4πR²=4π，
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊問(wèn)題、幾何體外接球半徑的求解，屬于中檔題．