Question

6．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，其焦距為2c，點(diǎn)Q（c，$\frac{a}{2}$）在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且|PF₁|+|PQ|＜5|F₁F₂|恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{2}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 點(diǎn)Q（c，$\frac{a}{2}$）在橢圓的內(nèi)部，$\frac{^{2}}{a}＞\frac{a}{2}$，|PF₁|+|PQ|=2a-|PF₂|+|PQ|，由-|QF₂|+|PQ|≤|PQ|-|PF₂|≤|QF₂|，且|QF₂|=$\frac{a}{2}$，要|PF₁|+|PQ|＜5|F₁F₂|恒成立，即2a-|PF₂|+|PQ|≤2a+$\frac{a}{2}$＜5×2c．

解答 解：∵點(diǎn)Q（c，$\frac{a}{2}$）在橢圓的內(nèi)部，∴$\frac{^{2}}{a}＞\frac{a}{2}$，⇒2b²＞a²⇒a²＞2c²．
$\frac{c}{a}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$
|PF₁|+|PQ|=2a-|PF₂|+|PQ|
又因?yàn)?|QF₂|+|PQ|≤|PQ|-|PF₂|≤|QF₂|，且|QF₂|=$\frac{a}{2}$，
要|PF₁|+|PQ|＜5|F₁F₂|恒成立，即2a-|PF₂|+|PQ|≤2a+$\frac{a}{2}$＜5×2c
$\frac{5a}{2}＜10c$，$\frac{c}{a}＞\frac{1}{4}$，則橢圓離心率的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程、性質(zhì)，橢圓的離心率，轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵，屬于難題．