Question

（2010•湖北模擬）已知：經(jīng)過點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)的動圓與y軸交于M、N兩點(diǎn)，C（-1，0），D（1，0）是x軸上兩點(diǎn)，直線MC與ND相交于P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）直線GH交軌跡E于G、H兩點(diǎn)，并且

OG

•

OH

=0（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)O到直線GH的距離．

Answer 1

分析：（1）利用消參法來求軌跡方程，先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，M，N的坐標(biāo)，根據(jù)圓的對稱性，經(jīng)過點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)的動圓圓心必在y軸上，可知MB⊥NB，在Rt△MNB中應(yīng)用勾股定理，求出M，N點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)M，N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線MC與
ND方程，聯(lián)立，消去參數(shù)，即可得到點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)出直線GH方程，代入（1）中所求雙曲線方程，化簡，求x₁+x₂，x₁x₂，用含參數(shù)的式子表示，在根據(jù)

OG

•

OH

=0，化簡直線GH方程，再用點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)O到直線GH的距離．

解答：解：（1）設(shè)M（0，m），N（0，n），P（x，y）
則

y=m(x+1) y=-n(x-1)

兩式相乘得：y²=-nm（x²-1）
連MB、NB，則MB⊥NB，在Rt△MNB中
知|OB|²=|OM||ON|
∴mn=-2∴y²=2（x²-1）
即x2-

y2

2

=1
故P的軌跡方程為x2-

y2

2

=1
（2）當(dāng)直線GH與x軸垂直時，設(shè)G（x₀，y₀），則H（x₀，-y₀）
從而x₀²-y₀²=0
又∵

x

2 0

-

y 2 0

2

=1∴

x

2 0

=2∴|x0|=

2

∴O到直線GH的距離為

2

．
當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)其方程為y=kx+m
代入x2-

y2

2

=1并整理得：（2-k²）x²-2mkx-m²-2=0
設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)則x1+x2=

2mk

2-k2

，x1x2=

m2+2

k2-2

…（*）
∵x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
將（*）代入并整理和m²=2（1+k²）∴O到GH的距離d=

|m|

1+k2

=

2

故O到GH的距離為

2

點(diǎn)評：本題主要考查了消參法求軌跡方程，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用．