Question

18．已知△ABO中，延長BA到C，使AC=BA，D是將$\overrightarrow{OB}$分成2：1的一個分點，DC和OA交于E，設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$．
（2）若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的法則結合向量的基本定理即可用用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{DC}$．
（2）根據向量關系的條件建立方程關系，求實數λ的值．

解答 解：（1）由題意知A是BC的中點，且$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
由平行四邊形法則得$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，
則$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow$；
（2）由圖知$\overrightarrow{EC}$∥$\overrightarrow{DC}$，
∵$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-λ$\overrightarrow{a}$=（2-λ）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow$，
∴$\frac{2-λ}{2}$=$\frac{-1}{-\frac{5}{3}}$，解得λ=$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查向量的基本定理的應用，根據向量平行四邊形法則和向量共線的條件是解決本題的關鍵．