Question

17．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于點Q，∠BAC=∠CAD，AP為四邊形ABCD外接圓的切線，交BD的延長線于點P．
（1）求證：PQ²=PD•PB；
（2）若AB=3，AP=2，AD=$\frac{4}{3}$，求AQ的長．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB=BC=DC，∠BAC=∠CBD，∠AQP=∠BAC+∠ABQ，∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，從而∠PAQ=∠PQA，進(jìn)而PA=PQ，由此利用切割線能證明PQ²=PA²=PD•PB．
（2）由∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，得△ABP∽△APD，從而$\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{PD}$，求出PD，由此能求出AQ=DQ=PQ-PD，從而能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于點Q，∠BAC=∠CAD，
∴AB=BC=DC，∴∠BAC=∠CBD，
∴∠AQP=∠BAC+∠ABQ，
∵AP為四邊形ABCD外接圓的切線，交BD的延長線于點P，
∴∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴PA=PQ，
∴PQ²=PA²=PD•PB．
解：（2）∵AB=3，AP=2，AD=$\frac{4}{3}$，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于點Q，∠BAC=∠CAD，
AP為四邊形ABCD外接圓的切線，交BD的延長線于點P，
PQ²=PA²=PD•PB
∴PQ²=4=PD•PB，∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，
∴△ABP∽△APD，∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{PD}$，
∴PD=$\frac{AP•AD}{AB}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{3}$=$\frac{8}{9}$，
∴AQ=DQ=PQ-PD=2-$\frac{8}{9}$=$\frac{10}{9}$．

點評 本題考查圓中線段間等量關(guān)系的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意切割線定理、弦切角定理的合理運用．