Question

5．若${（3{x^2}-\frac{1}{{2{x^3}}}）^n}$的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則當(dāng)正整數(shù)n取得最小值時(shí)，常數(shù)項(xiàng)的值為$\frac{135}{2}$．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于0，
求出滿足條件的n值，再求常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：${（3{x^2}-\frac{1}{{2{x^3}}}）^n}$展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（3x²）^n-r•${（-\frac{1}{{2x}^{3}}）}^{r}$=${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•3^n-r•${C}_{n}^{r}$•x^2n-5r；
令2n-5r=0，且n∈N*，r≥0，
解得n=5，r=2時(shí)滿足題意，
此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為：${（-\frac{1}{2}）}^{2}$•3^5-2•${C}_{5}^{2}$=$\frac{135}{2}$．
故答案為：$\frac{135}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．