Question

13．在直角坐標(biāo)平面上，O為原點，M為動點，$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{5}，\overrightarrow{ON}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\overrightarrow{OM}$．過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$．記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）．
（1）求曲線C的方程；  
（2）問是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直線l方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點T的坐標(biāo)為（x，y），點M的坐標(biāo)為（x'，y'），可知點M₁的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{ON}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\overrightarrow{OM}$可得點N的坐標(biāo)和N₁的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出$\overrightarrow{{M}_{1}M}$和$\overrightarrow{{N}_{1}N}$，代入$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$，求得x和x'的關(guān)系，y和y'的關(guān)系，再代入|$\overrightarrow{OM}$|中求得x和y的關(guān)系，即可得到曲線C的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-5），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去y化為關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為R（x₀，y₀），利用根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂，求得R的坐標(biāo)，根據(jù)|BP|=|BQ|可得BR⊥l，再由k•k_BR=-1，整理得20k²=20k²-4，此結(jié)論不成立，可判斷不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．

解答 解：（1）設(shè)點T的坐標(biāo)為（x，y），點M的坐標(biāo)為（x'，y'），則M₁的坐標(biāo)為（0，y'），
由$\overrightarrow{ON}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\overrightarrow{OM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x′，y′），得點N的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x′，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y′），N₁的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x′，0），
∴$\overrightarrow{{M}_{1}M}$=（x′，0），$\overrightarrow{{N}_{1}N}$=（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y′）．
由$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$，得（x，y）=（x′，0）+（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y′），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}y′}\end{array}\right.$，得x′=x，y′=$\frac{\sqrt{5}}{2}y$．
由|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{5}$，得（x′）²+（y′）²=5，
∴${x}^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}y）^{2}=5$，即$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故所求曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$； 
（2）點A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線l的方程為y=k（x-5）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-5）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0．
依題意△=20（16-80k²）＞0，得-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
當(dāng)-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，設(shè)交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為R（x₀，y₀），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{50{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}$，${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{25{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}$．
∴y₀=k（x₀-5）=k（$\frac{25{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}-5$）=$\frac{-20k}{5{k}^{2}+4}$．
由|BP|=|BQ|，得BR⊥l，則k•k_BR=-1，
∴$k•{k}_{BR}=k•\frac{\frac{20k}{5{k}^{2}+4}}{1-\frac{25{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}}=\frac{20{k}^{2}}{4-20{k}^{2}}=-1$，即20k²=20k²-4，
此式顯然不成立，
∴不存在直線l，使得|BP|=|BQ|．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題．