Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n]的公差為d，點(diǎn)（a_n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x的圖象上（n∈N^*）．
（1）若a₁=2，點(diǎn)（a₈，4b₇）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）若數(shù)列{a_n}的公差不為0，且a₁=1，a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）b_n=2 an，a_n=-2+（n-1）d，4×2^6d-2=2^5d-2，求出d的值，即可求解數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）根據(jù)公式性質(zhì)列出數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法求解．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2^x
由已知，b_n=2 an，a_n=-2+（n-1）d，
b₁=2^-2=

1

4

，a₆=5d-2，b₇=2 a7
∵點(diǎn)（2+a₆，4b₇）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴2^2+5d-2=4a₇，
∴4×2^6d-2=2^5d-2，d=2，
所以a_n=2n-4，S_n=

n(-2+2n-4)

2

=n（n-3），
（2）設(shè){a_n}的公差為d，（d≠0），
由a₁=1，a₂，a₄，a₆成等比數(shù)列，
所以（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
d=1，∴a_n=n，從而_n=2ⁿ，

an

bn

=

n

2n

，
數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和 T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①

1

2

t_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

，
數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=

2n+1-2-n

2n

．

點(diǎn)評：本題考查了等比，等差數(shù)列的公式，性質(zhì)，求和運(yùn)用公式，錯(cuò)位相減的方法，融合了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，難度較大