【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣3ax2+3bx的圖象與直線12x+y﹣1=0相切于點(diǎn)(1,﹣11).
(1)求a,b的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:求導(dǎo)得f′(x)=3x2﹣6ax+3b.
由于f(x)的圖象與直線12x+y﹣1=0相切于點(diǎn)(1,﹣11),
所以f(1)=﹣11,f′(1)=﹣12,即:
1﹣3a+3b=﹣11,3﹣6a+3b=﹣12
解得:a=1,b=﹣3.
(2)解:由a=1,b=﹣3得:f′(x)=3x2﹣6ax+3b=3(x2﹣2x﹣3)=3(x+1)(x﹣3)
令f′(x)>0,解得x<﹣1或x>3;
又令f′(x)<0,解得﹣1<x<3.
故當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時(shí),f(x)是增函數(shù),
當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),f(x)也是增函數(shù),
但當(dāng)x∈(﹣1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù).
【解析】(1)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率,切點(diǎn)在切線上,列方程解.(2)導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間;導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較;通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí),直線與曲線相切.容易知道,割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí),函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=3x2+2(k﹣1)x+k+5.
(1)求函數(shù)f(x)在[0,3]上最大值;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,3]上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)z=m2﹣1+(m2﹣m﹣2)i分別是:
(1)實(shí)數(shù);
(2)虛數(shù);
(3)純虛數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng) 時(shí),判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d>0,且, ,公比為q(0<q<1)的等比數(shù)列{}中,
(1)求數(shù)列{},{}的通項(xiàng)公式, ;
(2)若數(shù)列{}滿足,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,AD=1,E為DC的中點(diǎn).將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE.
(1)求證:平面BDE⊥平面ADE
(2)求三棱錐 C﹣BDE的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C的半徑為1,圓心C(a,2a﹣4),(其中a>0),點(diǎn)O(0,0),A(0,3)
(1)若圓C關(guān)于直線x﹣y﹣3=0對(duì)稱,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)P,使|PA|=|2PO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)當(dāng)a=﹣ 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)﹣x≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計(jì) | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計(jì) | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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