Question

已知圓錐曲線的焦點(diǎn)為，相應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且曲線過(guò)定點(diǎn).

又直線與曲線交于兩點(diǎn)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）試判斷是否存在直線，使得點(diǎn)是△的重心．若存在，求出對(duì)應(yīng)的直線的方程；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）試判斷是否存在直線，使得點(diǎn)是△的的垂心．若存在，求出對(duì)應(yīng)的直線的方程；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)根據(jù)圓錐曲線的第二定義知，曲線C的離心率根據(jù)圓錐曲線的第二定義知，

曲線C的離心率e＝＜1，故為橢圓，

根據(jù)條件解得曲線C的軌跡方程為：.       -----------------4分；

（2）假設(shè)存在直線l，使得點(diǎn)F是△BMN的重心.

再設(shè)直線l與橢圓.的交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，

則由橢圓幾何性質(zhì)的范圍性知：－≤x₁≤, －≤x₂≤，則－2≤x₁＋x₂≤2＜3，

另一方面，F(xiàn)(1,0)是△BMN的重心, 結(jié)合   B(0,1)及重心坐標(biāo)公式知3×1＝0＋x₁＋x₂，

即x₁＋x₂＝3，這與x₁＋x₂≤2＜3矛盾，     故滿足要求的直線l不存在. --------------8分；

（3）假設(shè)存在直線l，使得點(diǎn)F是△BMN的垂心. 由B(0,1)、F(1,0)，知直線BF的斜率為－1. 于是，由BF⊥MN，知直線l的斜率為1.  設(shè)直線l方程為y＝x＋b. 與聯(lián)立消去y，得3x²＋4bx＋2(b²－1)＝0 （*）

設(shè)M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，根據(jù)韋達(dá)定理得x₁＋x₂＝－, x₁x₂＝.     

若再能保證NF⊥BM，即·＝0，則F必為△BMN的垂心.

∵＝（1－x₂,－y₂）, ＝(x₁,y₁－1) 

·＝(1－x₂)x₁－y₂(y₁－1)＝x₁＋y₂－x₁x₂－y₁y₂＝x₁＋(x₂＋b)－x₁x₂－(x₁＋b)(x₂＋b)

          ＝－2x₁x₂＋(1－b)(x₁＋x₂)＋b－b²＝－2·＋b－b²＝0

即3b²＋b－4＝0，解得b＝1或b＝－. 

當(dāng)b＝1時(shí)，點(diǎn)B即為直線l與橢圓的交點(diǎn)，不合題意；    

當(dāng)b＝－時(shí)，代入方程（*）得3x²－x＋＝0，其判別式△＝＝>0，則兩端點(diǎn)存在，

滿足題設(shè).綜上得，存在直線l: y＝x－，使得點(diǎn)F是△BMN的垂心.     ---------------------16分