Question

17．已知u，v是方程x²-4tx-1=0（t∈R）的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)f（x）=$\frac{x-2t}{2{x}^{2}+2}$的定義域?yàn)閇u，v]，它的最大值、最小值分別記為f（x）_max，f（x）_min
（I）當(dāng)t=0時(shí)，求f（x）_max，f（x）_min
（II）令g（t）=f（x）_max-f（x）_min，求函數(shù)g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)t=0時(shí)，u=-1，v=1，f（x）=$\frac{x}{2{x}^{2}+2}$（-1≤x≤1），確定f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，即可求f（x）_max，f（x）_min
（II）由題意，f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-4tx+1）}{（2{x}^{2}+2）^{2}}$≥0，f（x）在[u，v]上單調(diào)遞增，令g（t）=f（x）_max-f（x）_min，利用韋達(dá)定理，即可求函數(shù)g（t）的解析式．

解答 解：（I）當(dāng)t=0時(shí)，由x²-1=0得x=±1，∴u=-1，v=1，f（x）=$\frac{x}{2{x}^{2}+2}$（-1≤x≤1），
∵f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{（2{x}^{2}+2）^{2}}$≥0，∴f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=$\frac{1}{4}$，f（x）_min=-$\frac{1}{4}$；
（II）由題意，f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-4tx+1）}{（2{x}^{2}+2）^{2}}$≥0，
∴f（x）在[u，v]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（v），f（x）_min=f（u）；
又u+v=4t，uv=-1，
∴g（t）=f（v）-f（u）=$\frac{v-2t}{2{v}^{2}+2}$-$\frac{u-2t}{2{u}^{2}+2}$=$\frac{\sqrt{（u+v）^{2}-4uv}[2t（u+v）-uv+1]}{2[（uv）^{2}+（u+v）^{2}-2uv+1]}$=$\frac{\sqrt{4{t}^{2}+1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．