Question

3．已知點M是圓C：（x+1）²+y²=1上的動點，定點D（1，0），點P在直線DM上，點N在直線CM上，且滿足$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{DM}=0$，動點N的軌跡是曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件可知NP為DM的中垂線，且CD＞CM，故而ND=NM，且|ND-NC|=1，故而可知N的軌跡為以C，D為焦點的雙曲線，利用雙曲線的定義求出方程；
（2）討論直線AB的斜率，設出直線AB的方程，聯(lián)立方程組，利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{DM}=0$，
∴P是DM的中點，NP⊥DM，
∴ND=NM，
∴|ND-NC|=|NM-NC|=|CM|=1，
∴N點軌跡E為以C，D為焦點的雙曲線，
設曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則2a=1，c=1，
∴a²=$\frac{1}{4}$，b²=$\frac{3}{4}$．
∴曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}=1$．
（2）當直線AB⊥x軸時，設A（a，1），則$\frac{{a}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{1}{\frac{3}{4}}=1$，解得|a|=$\frac{\sqrt{21}}{6}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{21}}{6}$=$\frac{\sqrt{21}}{6}$．
當直線AB方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}=1}\end{array}\right.$，得（12-4k²）x²-8kbx-4b²-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2kb}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}+3}{4{k}^{2}-12}$，
∵|AB|=2，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2，
即（1+k²）•[$\frac{4{k}^{2}^{2}}{（3-{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{4^{2}+3}{{k}^{2}-3}$]=4，整理得：b²=$\frac{7{k}^{4}-30{k}^{2}+27}{12（1+{k}^{2}）}$，
由b²≥0得7k⁴-30k²+27≥0，解得0$≤{k}^{2}≤\frac{9}{7}$或k²≥3．
又點O到直線AB的距離h=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•h=h，∴S²_△OAB=h²=$\frac{^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{7{k}^{4}-30{k}^{2}+27}{12（1+{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{7}{12}$-$\frac{11}{3（1+{k}^{2}）}$+$\frac{16}{3（1+{k}^{2}）^{2}}$，
令1+k²=t，則1≤t≤$\frac{16}{7}$或t≥4，設g（t）=$\frac{7}{12}$-$\frac{11}{3t}$+$\frac{16}{3{t}^{2}}$=$\frac{16}{3}$（$\frac{1}{t}$-$\frac{11}{32}$）²-$\frac{3}{64}$．
∵1≤t≤$\frac{16}{7}$或t≥4，∴$\frac{7}{16}$≤$\frac{1}{t}$≤1或0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{4}$．
∴當$\frac{1}{t}$=1即t=1時，g（t）取得最大值g（1）=$\frac{9}{4}$，
此時S_△OAB=$\sqrt{g（1）}$=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{3}{2}$＞$\frac{\sqrt{21}}{6}$，
∴△AOB的面積S的最大值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關系，解題時要注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．屬于中檔題．