Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AA₁=3，BD⊥AC，M為線段CC₁上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求CM的值，使得AM⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角B-AM-C的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BD⊥AM，AM⊥平面A₁BD．從而能求出當(dāng)CM=時(shí)1，AM⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）方法一：在（Ⅰ）的條件下，BD⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AM，設(shè)A₁D∩AM=N，則∠BND即為二面角B-AM-C的平面角，由此能求出二面角B-AM-C的正切值．
（Ⅱ）方法二：以B為原點(diǎn)，BC，BA，BB₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AM-C的正切值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC．
∵BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥AM．
∵∠ABC=90°，$AB=\sqrt{3}\;\;，\;\;BC=1$，
∴$BD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;\;，\;\;AD=\frac{3}{2}\;\;，\;\;CD=\frac{1}{2}$．…（2分）
在平面ACC₁A₁內(nèi)，當(dāng)△A₁AD∽△ACM即可滿足AM⊥A₁D，此時(shí)，AM⊥平面A₁BD．…（4分）
∴$\frac{CM}{AC}=\frac{AD}{{A{A_1}}}$，∴$\frac{CM}{2}=\frac{{\frac{3}{2}}}{3}$，∴CM=1，AM⊥平面A₁BD．…（6分）
解：（Ⅱ）方法一：
在（Ⅰ）的條件下，BD⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AM，
設(shè)A₁D∩AM=N，則∠BND即為二面角B-AM-C的平面角．…（8分）Rt△ACM中，
∴$\frac{CM}{DN}=\frac{AM}{AD}$，∴$DN=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$．…（10分）
Rt△BDN中，$BD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$DN=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$，$tan∠BND=\frac{BD}{DN}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
二面角B-AM-C的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．…（12分）
（Ⅱ）方法二：以B為原點(diǎn)，BC，BA，BB₁為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
B（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，0，0），M（1，0，1），D（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}，0$）．
$\overrightarrow{MA}=（{-1\;\;，\;\;\sqrt{3}\;\;，\;\;-1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{-1\;\;，\;\;0\;\;，\;\;-1}）$．…（8分）
在（Ⅰ）的條件下，BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACM，$\overrightarrow{BD}=（{\frac{3}{4}\;\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{4}\;\;，\;\;0}）$．
設(shè)n⊥平面ABM，n=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}n⊥\overrightarrow{MA}\\ N⊥\overrightarrow{MB}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}1-x+\sqrt{3}y-z=0\\ 1-x-z=0\end{array}\right.$，則n=（1，0，-1），…（10分）
設(shè)二面角B-AM-C的平面角為θ，$cosθ=\frac{{n•\overrightarrow{BD}}}{{|n|•|{\overrightarrow{BD}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
所以二面角B-AM-C的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正切值的求不地，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間維能力的培養(yǎng)．