7.求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心率為$\frac{2}{3}$,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
(2)過點(diǎn)A$(\frac{{\sqrt{6}}}{3},\sqrt{3})$和 B$(\frac{{2\sqrt{2}}}{3},1)$的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 (1)題目明確了要求橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,(a>>0),結(jié)合題意可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a為12,則a=6,再由離心率公式可得c的值,計(jì)算可得b的值,將a、b的值代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案;
(2)根據(jù)題意,設(shè)設(shè)要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:mx2+ny2=1,(m、n>0),結(jié)合題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$,解可得m、n的值,將其代入橢圓的方程可得答案.

解答 解:(1)根據(jù)題意,要求橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,(a>>0),
又由題意,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,即2a=12,則a=6,
其離心率為$\frac{2}{3}$,即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$,則c=4,
故b2=a2-c2=20,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1;
(2)根據(jù)題意,設(shè)要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:mx2+ny2=1,(m、n>0)
橢圓過點(diǎn)A$(\frac{{\sqrt{6}}}{3},\sqrt{3})$和 B$(\frac{{2\sqrt{2}}}{3},1)$,
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$,
解可得m=1,n=$\frac{1}{9}$,
故要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,可以依據(jù)題意,設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后用待定系數(shù)法進(jìn)行求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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