【題目】已知橢圓的離心率為,直線,圓的方程為,直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等,橢圓的左頂點為,上頂點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知經(jīng)過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點和,請問是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)不存在;詳見解析
【解析】
(1)求得圓心到直線的距離,利用直線和圓相交所得弦長公式列方程,解方程求得的值,結(jié)合橢圓離心率以及,求得的值,進(jìn)而求得橢圓離心率.
(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出根于系數(shù)關(guān)系以及判別式,利用與共線以及向量共線的坐標(biāo)表示列方程,由此判斷出不存在符合題意的常數(shù).
(1)圓心到直線的距離為,
直線被圓截得的弦長,.
由橢圓離心率為,結(jié)合可得,.即橢圓的方程為:.
(2)設(shè)直線的方程為,
代入橢圓方程,整理,得,①
因為直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于,
解得.
設(shè),,則,
由①得,②
又,③
因為,所以.
所以與共線等價于.
將②③代入上式,解得,(舍).
因為不滿足,
所以不存在常數(shù),使得向量與共線.
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【題目】已知橢圓:上任意一點到兩個焦點的距離和為4,且離心率為.
(1)求橢圓的方程.
(2)過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于,和,,設(shè)中點為,中點為,試探究直線是否過定點?若是,求出該定點;若不是,說明理由.
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【題目】某工廠的,,三個不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測:
車間 | |||
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來自,,各車間產(chǎn)品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.
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【題目】若拋物線的焦點為,是坐標(biāo)原點,為拋物線上的一點,向量與軸正方向的夾角為60°,且的面積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,求當(dāng)取得最大值時,直線的方程.
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【題目】已知橢圓C:經(jīng)過定點,其左右集點分別為,且,過右焦且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圈交于P,Q兩點.
(1)求橢圓C的方程:
(2)若O為坐標(biāo)原點,在線段上是否存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】橢圓的焦點為和,過的直線交于兩點,過作與軸垂直的直線,又知點,直線記為,與交于點.設(shè),已知當(dāng)時,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:無論如何變化,點的橫坐標(biāo)是定值,并求出這個定值.
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【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點,交y軸于M點,若,,求的值.
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【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視,有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎,同時生產(chǎn)—運(yùn)輸—銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本,而且減去了蔬菜的二次污染等問題.
(1)在有機(jī)蔬菜的種植過程中,有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系,每個有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量(百斤)與使用堆漚肥料(千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表
使用堆漚肥料(千克) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
產(chǎn)量的增加量(百斤) | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
依據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;并根據(jù)所求線性回歸方程,估計如果每個有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,則每個有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量增加量是多少百斤?
(2)某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客,如果當(dāng)天前8小時賣不完,則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價處理完畢,且處理完畢后,當(dāng)天不再進(jìn)貨).該生鮮超市統(tǒng)計了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:,且);
前8小時內(nèi)的銷售量(單位:份) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
頻數(shù) | 10 | x | 16 | 6 | 15 | 13 | y |
若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率,該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù),當(dāng)購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大時,求的取值范圍.
附:回歸直線方程為,其中.
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【題目】已知拋物線C1:x2=2py(p>0),圓C2:x2+y2﹣8y+12=0的圓心M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為,點P是拋物線C1上一點,過點P,M的直線交拋物線C1于另一點Q,且|PM|=2|MQ|,過點P作圓C2的兩條切線,切點為A、B.
(Ⅰ)求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)求直線PQ的方程及的值.
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