Question

14．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若點(diǎn)E為A₁C上的點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=m$\overrightarrow{EC}$（m∈R），若二面角E-AD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)A₁C∩AC₁于F，則F為AC₁的中點(diǎn)，連結(jié)DF，則A₁B∥DF，由此能證明A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，過M作MN⊥AD，垂足為N，連結(jié)EN，則∠ENM為二面角E-AD-C的一個(gè)平面角，由此利用二面角E-AD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，能求出m的值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)A₁C∩AC₁于F，則F為AC₁的中點(diǎn)，
連結(jié)DF，則A₁B∥DF，
∵DF?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．
解：（Ⅱ）過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，過M作MN⊥AD，垂足為N，連結(jié)EN，
則EN⊥AD，∴∠ENM為二面角E-AD-C的一個(gè)平面角，
設(shè)EM=h，則$\frac{h}{3}$=$\frac{CM}{2}$，∴CM=$\frac{2h}{3}$，∴AM=2-$\frac{2h}{3}$，
∵$\frac{MN}{CD}=\frac{AM}{AC}$，∴MN=$\frac{AM}{AC}=1-\frac{h}{3}$，
∴EN²=EM²+MN²=h²+（1-$\frac{h}{3}$）²，
∵cos$∠ENM=\frac{\sqrt{10}}{10}$，故$\frac{（1-\frac{h}{3}）^{2}}{{h}^{2}+（1-\frac{h}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{10}$，解得h=$\frac{3}{2}$，
此時(shí)，點(diǎn)E為A₁C的中點(diǎn)，∴m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．