Question

6．某重點(diǎn)中學(xué)為了解高一年級(jí)學(xué)生身體發(fā)育情況，對(duì)全校700名高一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣檢查，測(cè)得身高（單位：cm）頻數(shù)分布表如表1、表2．
表1：男生身高頻數(shù)分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
頻數(shù)	2	5	14	13	4	2

表2：女生身高頻數(shù)分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
頻數(shù)	1	7	12	6	3	1

（1）求該校高一女生的人數(shù)；
（2）估計(jì)該校學(xué)生身高在[165，180）的概率；
（3）以樣本頻率為概率，現(xiàn)從高一年級(jí)的男生和女生中分別選出1人，設(shè)X表示身高在[165，180）學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)高一女學(xué)生人數(shù)為x，由表1和2可得樣本中男女生人數(shù)分別為40，30，則$\frac{700-x}{x}$=$\frac{40}{30}$，解得x．
（2）由表1和2可得樣本中男女生人數(shù)分別為：5+14+13+6+3+1=42．樣本容量為70．可得樣本中該校學(xué)生身高在[165，180）的概率=$\frac{42}{70}$．即估計(jì)該校學(xué)生身高在[165，180）的概率．
（3）由題意可得：X的可能取值為0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率為$\frac{1}{3}$．男生身高在[165，180）的概率為$\frac{4}{5}$．即可得出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)高一女學(xué)生人數(shù)為x，由表1和2可得樣本中男女生人數(shù)分別為40，30，
則$\frac{700-x}{x}$=$\frac{40}{30}$，解得x=300．
因此高一女學(xué)生人數(shù)為300．
（2）由表1和2可得樣本中男女生人數(shù)分別為：5+14+13+6+3+1=42．樣本容量為70．
∴樣本中該校學(xué)生身高在[165，180）的概率=$\frac{42}{70}$=$\frac{3}{5}$．
估計(jì)該校學(xué)生身高在[165，180）的概率=$\frac{3}{5}$．（3）由題意可得：X的可能取值為0，1，2．
由表格可知：女生身高在[165，180）的概率為$\frac{1}{3}$．男生身高在[165，180）的概率為$\frac{4}{5}$．
∴P（X=0）=$（1-\frac{4}{5}）×（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{2}{15}$，P（X=1）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{3}）$+$（1-\frac{4}{5}）×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{15}$，P（X=2）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{15}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{9}{15}$	$\frac{4}{15}$

∴E（X）=0+$1×\frac{9}{15}$+$2×\frac{4}{15}$=$\frac{17}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率與概率的關(guān)系、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．