Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x
（1）求f（x）在[t，t+2]上的最小值h（t）；
（2）若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)α，β，使得f（α）=f（β），求證：α+β＜2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論t+2的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出h（t）的解析式；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x），求出函數(shù)的g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（2-α）＞f[2-（2-α）]=f（α）=f（β），從而證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得f′（x）=（x-1）e^x．…（2分）
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）
當(dāng)t+2≤1，即t≤-1時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞減，h（t）=f（t+2）=te^t+2；
當(dāng)t≤1＜t+2，即-1＜t≤1時(shí)，h（t）=f（1）=-e；
當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，h（t）=f（t）=（t-2）e^t．…（5分）
所以h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{te}^{t+2}，t≤-1}\\{-e，-1＜t≤1}\\{（t-2{）e}^{t}，t≥1}\end{array}\right.$．…（6分）
（2）證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（2-x）=（x-2）e^x+$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，x＞1，．…（7分）
則g′（x）=（x-1）（e^x-$\frac{{e}^{2}}{{e}^{x}}$），
因?yàn)閤＞1，所以x-1＞0，函數(shù)y=e^x-$\frac{{e}^{2}}{{e}^{x}}$單調(diào)遞增，
所以e^x-$\frac{{e}^{2}}{{e}^{x}}$＞e-$\frac{{e}^{2}}{e}$=0，
所以在區(qū)間（1，+∞）上，g′（x）＞0，所以在區(qū)間（1，+∞）上g（x）單調(diào)遞增，
所以g（x）＞g（1）=0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（2-x）．…（9分）
根據(jù)（1）中f（x）的性質(zhì)，若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)α，β，使得f（α）=f（β），
不妨設(shè)α＜β，則一定有α＜1，β＞1，當(dāng)α＜1時(shí)，2-α＞1，
所以f（2-α）＞f[2-（2-α）]=f（α）=f（β），
因?yàn)閒（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以2-α＞β，α+β＜2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．